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 2007/5/2更新


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次元の小話(3)

「我々がすんでいる世界は3次元なのに
なぜ4次元以上の空間を考える必要があるのか
40行以内で回答するの巻

まずFFやドラクエなどのRPGのような2次元世界をイメージしてください。
目標は、この世界を数学的に表現することです。
そのためにまず座標平面 (x,y)平面 を用意してみましょう。
座標平面の特徴は(1)2次元で(2)境界がなく(3)果てしなく無限に広がっているという点ですが
RPG世界とでは(3)の点で大きく異なっています。
例えば飛空艇などにのってワールドマップの端に飛んでみると
確かに境界はありませんが、どういうわけかマップの反対側からでてきます。
したがってRPG世界が(3)に反し有限空間であり、座標平面内の空間としては実現不可能であると分かります。

20070502002200.jpg



そこで今度は3次元空間 …(x,y,z)空間を用意し、RPG世界を「3次元空間内にある曲面」だと思うことにします。
すると今度はワールドマップの両端を張り合わせることで
下図のような曲面として、RPG世界を実現することができます。

20070502002219.jpg


これを(2次元空間の3次元空間への)埋め込みといいます。
このとき、埋め込まれたRPG世界は曲がっていて、元の物と異なるように見えますが、ここでは「曲面内からは自分自身の伸縮・歪曲を観測できない」として無視します。これは外からみて空間が歪んでいても、空間内においてはそのゆがみにあわせて、それを測るモノサシ自身もまた歪んでいて、直接は観測できないという意味です

もっと現実的な例としては地球があります。
我々は空を飛べないので、上下方向を無視して地球表面を完全に2次元世界と見なします。
地球も(3)を満たさないので座標平面内では再現できません。
ところで、実際には私たちの世界は3次元なので、地球が球面であることはロケットで宇宙に出て観測したり、あるいは正確な測量で地表の曲がり具合を計ったりすることで、直接的に知ることができます。

しかしここで重要なのは我々が2次元の世界から全く出なくても(つまり上下方向の次元を認識できなくても!)地球が球面であるという事に気がつけるという点です
同様の事実は先のRPG世界の例でも見ましたが、
地球曲面においては、各地でかかれた何枚もの部分的な地図を張り合わせていくことで、自分たちの世界が、局所的には座標平面と同一視できる-平面の地図に描ける-にもかかわらず全体として座標平面内に埋め込み不可能であることに気がつくはずです。

20070502002237.jpg

<局所的に座標平面とみなせる地球表面>

20070502002305.jpg

<張りあわせにより推定される地球全体>

この考察から「自分たちの住む世界も、局所的には3次元座標空間と同じでも、全体として3次元座標空間とは同一視できない」そして「4次元(あるいはそれ以上の次元の)空間内に横たわる3次元立体として埋め込まれている」という可能性に気がつきます。
つまり3次元の世界を考える際でも、土台として4次元や5次元の空間を用意しておくことに、ここに一つの意味があるのです。







追伸:
20070503120551.jpg

20070503120603.jpg


図4では何千枚もの正方形(に近い)mapを張り合わせて球面(に近いもの)をつくっていますが、これは、一枚のmapをあまり大きく取ってしまうと、地図を張り合わせるまでもなく、地球の曲率に気がついてしまうためこうしました。
それを無視すれば上のような1~2枚程度のmapだけでも球面を構成できます。


これを3次元に拡張するとどうなるか。
私たちは普段何気なく周りの空間がxyz空間と同一視できると思っていますが
もしかすると、十分広いスケール(銀河単位)で見たら、そうではない…
例えばRPG世界のようにx軸(y軸,z軸)をひたすらつたっていくと、x軸(y軸,z軸)の反対側から戻ってきたりするかもしれない。
(このようなマップは3次元トーラスとよばれていて、
2次元トーラス(図2)が3次元座標空間に埋め込めたのとどうように
4次元空間内に埋め込むことができます。)
あるいは空間としてはコンパクトでない(有限ではない)けれども
十分大きいスケールでんみると、どこか歪んでいて
三角形の内角の和が180度にならない(例:放物空間)などなど。

20070503124346.jpg

次元の小話(その2)

お久しぶりです。

前回の記事から随分たちますが、
何件かのリクエストがあったので、しぶしぶ続きを書くことにします。



 多次元空間の数学的あつかいについて



3次元空間上の点は、縦、横、高さの成分を調べることで
(x,y,z)と3つの実数の組を使って一意的に表現することが出来ます。
逆に(x,y,z)と3つの実数が与えられれば、それは3次元空間上の一点を表します。
同様に2次元空間であれば、(x,y)の2実数
一次元空間であれば実数xと、
それらの空間は、「実数のいくつかの組の集合」と、形式的には同一視できるわけです。

1,2,3次元







4次元空間というのも、このようなシンプルな考えで定義できます。


つまり(x,y,z,w)という形式的な4つの実数の組
((1,-2,5,6)や(5,12,-61,0)などという実数の組)が
4次元空間上のひとつの"点"を表すと考え、
それらすべての集まりとして4次元空間を構成するのです。

この空間、当然今までのような直交座標を使った視覚化は出来ません!


4



しかしいくつかの幾何学的な構造を与えることが出来ます。




3次元空間上の2点(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)に対して、それらの距離は
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + (x3-y3)^2
として計算できました。(三平方の定理より)
2次元空間上の2点(x1,x2),(y1,y2)であれば
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2
一次元も同様。

この延長として、4次元空間の2点
(x1,x2,x3,x4),(y1,y2,y3,y4)に対して
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + (x3-y3)^2 +(x4-y4)^2
をもって、その距離とすることができます。


距離





例:
点(1,0,2,4)と点(-3,1,-1,3)との距離は
(1+3)^2+(0+1)^2+(2+1)^2+(4-3)^2=4+1+9+1=15
なので√15


また3次元空間にあったような、さまざまな図形を
4次元空間でも考えることが出来ます。



例えば

x^2+y^2=1

の式を満たす(x,y)すべてを2次元空間上に図示すれば、
それは原点中心半径1の円を形作り

x^2+y^2+z^2=1

を満たす(x,y,z)全体は3次元空間上で原点中心半径1の球をなします。


この流れから、4次元空間上の"球"を

x^2+y^2+z^2+w^2=1

を満たす(x,y,z,w)全体として定義できそうです。(図示は出来ないけど)


超球




4次元空間上の"平面"も考えてみましょう。

x+y=0, 3x+2y=0,-4x+y=0,…,ax+by=0(a,bは定数)
などの形の式を満たす(x,y)全体は2次元空間上で、原点を通る直線を表し
x+y+z,…,ax+bx+cz=0(a,b,cは定数)
は3次元空間上の原点を通る平面を表します。

同様に
ax+by+cz+dw=0(a,b,c,dは定数)
を満たす(x,y,z,w)全体として
4次元空間上の"平面"は定義されます。
(平面といいますが、実はこれは原点を通る3次元の"空間")


トーラス(ドーナツ状図形)や、そのほかの曲面、図形も、
定義式を考えることで形式的に定義できます。


また詳しい説明を省きますが
内積を考えることで直行(直角に交わること)という概念も定義できますし、
面積・体積計算も3次元空間と同様に行うことが出来ます。




実数の組(x,y,z,w)として形式的に定義された4次元空間ですが、
このように3次元空間が備えているような幾何学的な性質
いくつも引き継いでいるのです。




いかがでしょう?

以上がいわゆる「4次元空間」というものに対する、
数学的な観点からの一つの解釈です。
5次元や6次元、一般のn次元についても全く同様!

(正確には、今回述べた4次元空間は
「4次元ユークリッド空間」「4次元数ベクトル空間」と呼ばれるもので
さらに抽象的な解釈も存在します。(一般のベクトル空間など))








さて、このような視覚化不可能の空間を考えることが
現実的にどのように応用されるかというと…







知りませんw






ほとんどの学生は趣味や興味でやってるんじゃないでしょうか?
ちょっと知ったかをすれば、
一般相対性理論などは
このような高次元の数空間の概念をもちいて表現されるので
そういったところで必要になるらしいです。



ちなみに俺が院試にむけてしこしこ勉強していた
「多様体」といわれる数学が、
今回説明したn次元の幾何学の発展系のようなものです。
前回の記事を書いた段階ではまだやってなかったのですが
最近ハマってます。
教科書も買っちゃいました。
興味のある人貸します。

次元の小話(その1)

日常的に「空間」という言葉を使った場合
それはだいたい「(なにもない)空中」を、
特に「3次元空間の空中」を意味します。

それくらい私達にとって、
「空間」が縦・横・高さをもつ3次元であるという事実は一般的。

今日のお題:
では4次元空間っていったいなんでしょう?


「縦横高さ以外にもう一つ自由に動ける方向をもつ空間」
ドラえもんに登場する4次元ポケットは
そんな認識から誕生したアイテムの一つです。
例えば(一次元の)直線上を移動する物体を閉じ込めるには、
左と右の2点の通行路をふさいでやればよい。
しかし(2次元の)平面上を移動する物体は、点の障害物などすぐによけてしまう。その場合はぐるりと閉曲線で囲めばよい。
しかし3次元空間上を移動する我々を円で囲っても、ひょいと飛び越えてしまう。
そんな我々は(閉曲面で)密封されてしまえば、身動きが取れなくなるが、これを4次元空間から眺めれば…


「密封された閉曲面からも(第四の方向に移動することで)
自由に抜け出せるような空間」
これが、4次元空間にたいして
一般的に考えられているイメージの一つじゃないでしょうか?





もちろんそんな空間なんてのはSFの話であって
数学者や物理学者になれば、その4次元目の軸が見えるなんてのは都市伝説。
数学者は形式的な実数の集まりとしてしか高次元空間をみないし
物理学的にも、空間は(実質的に)3次元であると捕らえられています。



さてさて、そんなか
「4次元目は時間軸だ」という認識をしている人も意外と多い。
これってどうなんでしょう?
縦・横・高さ、ときて次が時間ですよ、
違和感ないんでしょうか?

確かに一般相対性理論が
時間軸も含めた4次元空間上で議論されているという事実はありますが
それにおいても、ほかの3つの次元に対して
時間軸だけは特異な存在であって
(1~3次元空間の)自然な拡張としての4次元空間ではないことに注意しなくてはなりません。
つまり4次元目は時間、っていうのは
一般的な次元の捕らえ方とはだいぶ異なるということです。
(だいたいそれだと4次元ポケットが普通のポケットになってしまう)



ところで、時間軸がほかの3つの位置座標軸とは異質であるとは
厳密にはどういうことなのか?
これに対して
「3次元空間は自由に動けるが、時間軸は自由に往復できない」
という説明は適切なのでしょうか?
俺としては「自由」とか「動ける」という言葉の定義が
妙に曖昧で、しっくりきません。
そもそも時間軸を考えるときに
「私達3次元空間の物質が時間軸を未来方向へ"移動"している」
という解釈はおかしいんじゃないでしょうか?
動くとか、移動とかいう概念が時間に依存いている以上
時間軸を固定したときに、その言葉は使えないでしょう。
4次元空間は(ビデオフィルムのように)
3次元空間が時間軸にそって一列にずらり並んでいる(*)
自分はそんなイメージを持っています
すべての時間が一緒に存在するその空間においては
未来、過去はそれをどちら向きに読んでいくかの問題に過ぎない気がします。

「縦・横・高さの3次元が、それぞれ互いに区別できないのに対して、時間軸だけが異質だ」
こちらのほうが説明になっているんじゃないでしょうか?
(物理学者はどう答えるのでしょう?)


(*)実際の相対論での4次元空間とは構成が異なると思われます。


さてさて、さっき「数学者だからって4次元空間は見えない」といいましたが
実はいくつかの裏業を使えば、4次元や5次元の空間を
(比較的簡単に)作図&イメージすることが出来ます。
これについてはまたいつかということで、
今回の話はおしまいにします。







おまけ:
本文中に盛り込めなかったのでここに。

最近読んだ科学雑誌に
「3次元空間は幻ではないか」という記事がありました。
「私達の空間が3次元であるというのは、錯覚で
実は見えないところにあと8次元(合計11次元)の次元が隠れている!」

と、これは有名な超ひも理論の話ですが、その記事はそれではなく
「実は3次元ではなく2次元かもしれない」
というさらに驚くべきことを主張していました。

「重力を含めた3次元空間は、重力を無視した2次元空間と区別できない」
たしかこんな内容。
次元が減るという発想は新しいので、結構興味を持ちました。
もっと調べてみたいです。つづく。

あなたの人生の物語

4月20日頃にアマゾンで発注した3冊の本
数学の参考書一冊をメインに、有名どころのSF小説2冊をおまけしたもの。





よ~~やく届きました!!!





いざ御対面!!!

わくわく…










CA330005.jpg




き、



き、




来っ!



(・∀・)キターーーーーーーーーーーーーーー(↓)



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CA330008.jpg







ーーーーーーーーーーーーーぁああ!!!!????











(注釈:左は、半田帰省中に本屋で衝動買いしたもの。ウッカリ☆)

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