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次元の小話(その2)

お久しぶりです。

前回の記事から随分たちますが、
何件かのリクエストがあったので、しぶしぶ続きを書くことにします。



 多次元空間の数学的あつかいについて



3次元空間上の点は、縦、横、高さの成分を調べることで
(x,y,z)と3つの実数の組を使って一意的に表現することが出来ます。
逆に(x,y,z)と3つの実数が与えられれば、それは3次元空間上の一点を表します。
同様に2次元空間であれば、(x,y)の2実数
一次元空間であれば実数xと、
それらの空間は、「実数のいくつかの組の集合」と、形式的には同一視できるわけです。

1,2,3次元







4次元空間というのも、このようなシンプルな考えで定義できます。


つまり(x,y,z,w)という形式的な4つの実数の組
((1,-2,5,6)や(5,12,-61,0)などという実数の組)が
4次元空間上のひとつの"点"を表すと考え、
それらすべての集まりとして4次元空間を構成するのです。

この空間、当然今までのような直交座標を使った視覚化は出来ません!


4



しかしいくつかの幾何学的な構造を与えることが出来ます。




3次元空間上の2点(x1,x2,x3),(y1,y2,y3)に対して、それらの距離は
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + (x3-y3)^2
として計算できました。(三平方の定理より)
2次元空間上の2点(x1,x2),(y1,y2)であれば
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2
一次元も同様。

この延長として、4次元空間の2点
(x1,x2,x3,x4),(y1,y2,y3,y4)に対して
√(x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + (x3-y3)^2 +(x4-y4)^2
をもって、その距離とすることができます。


距離





例:
点(1,0,2,4)と点(-3,1,-1,3)との距離は
(1+3)^2+(0+1)^2+(2+1)^2+(4-3)^2=4+1+9+1=15
なので√15


また3次元空間にあったような、さまざまな図形を
4次元空間でも考えることが出来ます。



例えば

x^2+y^2=1

の式を満たす(x,y)すべてを2次元空間上に図示すれば、
それは原点中心半径1の円を形作り

x^2+y^2+z^2=1

を満たす(x,y,z)全体は3次元空間上で原点中心半径1の球をなします。


この流れから、4次元空間上の"球"を

x^2+y^2+z^2+w^2=1

を満たす(x,y,z,w)全体として定義できそうです。(図示は出来ないけど)


超球




4次元空間上の"平面"も考えてみましょう。

x+y=0, 3x+2y=0,-4x+y=0,…,ax+by=0(a,bは定数)
などの形の式を満たす(x,y)全体は2次元空間上で、原点を通る直線を表し
x+y+z,…,ax+bx+cz=0(a,b,cは定数)
は3次元空間上の原点を通る平面を表します。

同様に
ax+by+cz+dw=0(a,b,c,dは定数)
を満たす(x,y,z,w)全体として
4次元空間上の"平面"は定義されます。
(平面といいますが、実はこれは原点を通る3次元の"空間")


トーラス(ドーナツ状図形)や、そのほかの曲面、図形も、
定義式を考えることで形式的に定義できます。


また詳しい説明を省きますが
内積を考えることで直行(直角に交わること)という概念も定義できますし、
面積・体積計算も3次元空間と同様に行うことが出来ます。




実数の組(x,y,z,w)として形式的に定義された4次元空間ですが、
このように3次元空間が備えているような幾何学的な性質
いくつも引き継いでいるのです。




いかがでしょう?

以上がいわゆる「4次元空間」というものに対する、
数学的な観点からの一つの解釈です。
5次元や6次元、一般のn次元についても全く同様!

(正確には、今回述べた4次元空間は
「4次元ユークリッド空間」「4次元数ベクトル空間」と呼ばれるもので
さらに抽象的な解釈も存在します。(一般のベクトル空間など))








さて、このような視覚化不可能の空間を考えることが
現実的にどのように応用されるかというと…







知りませんw






ほとんどの学生は趣味や興味でやってるんじゃないでしょうか?
ちょっと知ったかをすれば、
一般相対性理論などは
このような高次元の数空間の概念をもちいて表現されるので
そういったところで必要になるらしいです。



ちなみに俺が院試にむけてしこしこ勉強していた
「多様体」といわれる数学が、
今回説明したn次元の幾何学の発展系のようなものです。
前回の記事を書いた段階ではまだやってなかったのですが
最近ハマってます。
教科書も買っちゃいました。
興味のある人貸します。

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