次元の小話（３）
「我々がすんでいる世界は３次元なのに
なぜ４次元以上の空間を考える必要があるのか」
に４０行以内で回答するの巻
まずＦＦやドラクエなどのＲＰＧのような２次元世界をイメージしてください。
目標は、この世界を数学的に表現することです。
そのためにまず座標平面 (x,y)平面 を用意してみましょう。
座標平面の特徴は（１）２次元で（２）境界がなく（３）果てしなく無限に広がっているという点ですが
ＲＰＧ世界とでは（３）の点で大きく異なっています。
例えば飛空艇などにのってワールドマップの端に飛んでみると
確かに境界はありませんが、どういうわけかマップの反対側からでてきます。
したがってＲＰＧ世界が（３）に反し有限空間であり、座標平面内の空間としては実現不可能であると分かります。
そこで今度は３次元空間 …(x,y,z)空間を用意し、ＲＰＧ世界を「３次元空間内にある曲面」だと思うことにします。
すると今度はワールドマップの両端を張り合わせることで
下図のような曲面として、ＲＰＧ世界を実現することができます。
これを（２次元空間の３次元空間への）埋め込みといいます。
このとき、埋め込まれたＲＰＧ世界は曲がっていて、元の物と異なるように見えますが、ここでは「曲面内からは自分自身の伸縮・歪曲を観測できない」として無視します。これは外からみて空間が歪んでいても、空間内においてはそのゆがみにあわせて、それを測るモノサシ自身もまた歪んでいて、直接は観測できないという意味です
もっと現実的な例としては地球があります。
我々は空を飛べないので、上下方向を無視して地球表面を完全に２次元世界と見なします。
地球も（３）を満たさないので座標平面内では再現できません。
ところで、実際には私たちの世界は３次元なので、地球が球面であることはロケットで宇宙に出て観測したり、あるいは正確な測量で地表の曲がり具合を計ったりすることで、直接的に知ることができます。
しかしここで重要なのは我々が２次元の世界から全く出なくても（つまり上下方向の次元を認識できなくても!）地球が球面であるという事に気がつけるという点です
同様の事実は先のＲＰＧ世界の例でも見ましたが、
地球曲面においては、各地でかかれた何枚もの部分的な地図を張り合わせていくことで、自分たちの世界が、局所的には座標平面と同一視できる−平面の地図に描ける−にもかかわらず全体として座標平面内に埋め込み不可能であることに気がつくはずです。
＜局所的に座標平面とみなせる地球表面＞
＜張りあわせにより推定される地球全体＞
この考察から「自分たちの住む世界も、局所的には３次元座標空間と同じでも、全体として３次元座標空間とは同一視できない」そして「４次元（あるいはそれ以上の次元の）空間内に横たわる３次元立体として埋め込まれている」という可能性に気がつきます。
つまり３次元の世界を考える際でも、土台として４次元や５次元の空間を用意しておくことに、ここに一つの意味があるのです。
追伸：
図４では何千枚もの正方形（に近い）mapを張り合わせて球面（に近いもの）をつくっていますが、これは、一枚のmapをあまり大きく取ってしまうと、地図を張り合わせるまでもなく、地球の曲率に気がついてしまうためこうしました。
それを無視すれば上のような１〜２枚程度のmapだけでも球面を構成できます。
これを３次元に拡張するとどうなるか。
私たちは普段何気なく周りの空間がxyz空間と同一視できると思っていますが
もしかすると、十分広いスケール（銀河単位）で見たら、そうではない…
例えばRPG世界のようにx軸(y軸,z軸)をひたすらつたっていくと、x軸(y軸,z軸)の反対側から戻ってきたりするかもしれない。
（このようなマップは３次元トーラスとよばれていて、
２次元トーラス（図２）が３次元座標空間に埋め込めたのとどうように
４次元空間内に埋め込むことができます。）
あるいは空間としてはコンパクトでない（有限ではない）けれども
十分大きいスケールでんみると、どこか歪んでいて
三角形の内角の和が１８０度にならない（例：放物空間）などなど。
なぜ４次元以上の空間を考える必要があるのか」
に４０行以内で回答するの巻
まずＦＦやドラクエなどのＲＰＧのような２次元世界をイメージしてください。
目標は、この世界を数学的に表現することです。
そのためにまず座標平面 (x,y)平面 を用意してみましょう。
座標平面の特徴は（１）２次元で（２）境界がなく（３）果てしなく無限に広がっているという点ですが
ＲＰＧ世界とでは（３）の点で大きく異なっています。
例えば飛空艇などにのってワールドマップの端に飛んでみると
確かに境界はありませんが、どういうわけかマップの反対側からでてきます。
したがってＲＰＧ世界が（３）に反し有限空間であり、座標平面内の空間としては実現不可能であると分かります。
そこで今度は３次元空間 …(x,y,z)空間を用意し、ＲＰＧ世界を「３次元空間内にある曲面」だと思うことにします。
すると今度はワールドマップの両端を張り合わせることで
下図のような曲面として、ＲＰＧ世界を実現することができます。
これを（２次元空間の３次元空間への）埋め込みといいます。
このとき、埋め込まれたＲＰＧ世界は曲がっていて、元の物と異なるように見えますが、ここでは「曲面内からは自分自身の伸縮・歪曲を観測できない」として無視します。これは外からみて空間が歪んでいても、空間内においてはそのゆがみにあわせて、それを測るモノサシ自身もまた歪んでいて、直接は観測できないという意味です
もっと現実的な例としては地球があります。
我々は空を飛べないので、上下方向を無視して地球表面を完全に２次元世界と見なします。
地球も（３）を満たさないので座標平面内では再現できません。
ところで、実際には私たちの世界は３次元なので、地球が球面であることはロケットで宇宙に出て観測したり、あるいは正確な測量で地表の曲がり具合を計ったりすることで、直接的に知ることができます。
しかしここで重要なのは我々が２次元の世界から全く出なくても（つまり上下方向の次元を認識できなくても!）地球が球面であるという事に気がつけるという点です
同様の事実は先のＲＰＧ世界の例でも見ましたが、
地球曲面においては、各地でかかれた何枚もの部分的な地図を張り合わせていくことで、自分たちの世界が、局所的には座標平面と同一視できる−平面の地図に描ける−にもかかわらず全体として座標平面内に埋め込み不可能であることに気がつくはずです。
＜局所的に座標平面とみなせる地球表面＞
＜張りあわせにより推定される地球全体＞
この考察から「自分たちの住む世界も、局所的には３次元座標空間と同じでも、全体として３次元座標空間とは同一視できない」そして「４次元（あるいはそれ以上の次元の）空間内に横たわる３次元立体として埋め込まれている」という可能性に気がつきます。
つまり３次元の世界を考える際でも、土台として４次元や５次元の空間を用意しておくことに、ここに一つの意味があるのです。
追伸：
図４では何千枚もの正方形（に近い）mapを張り合わせて球面（に近いもの）をつくっていますが、これは、一枚のmapをあまり大きく取ってしまうと、地図を張り合わせるまでもなく、地球の曲率に気がついてしまうためこうしました。
それを無視すれば上のような１〜２枚程度のmapだけでも球面を構成できます。
これを３次元に拡張するとどうなるか。
私たちは普段何気なく周りの空間がxyz空間と同一視できると思っていますが
もしかすると、十分広いスケール（銀河単位）で見たら、そうではない…
例えばRPG世界のようにx軸(y軸,z軸)をひたすらつたっていくと、x軸(y軸,z軸)の反対側から戻ってきたりするかもしれない。
（このようなマップは３次元トーラスとよばれていて、
２次元トーラス（図２）が３次元座標空間に埋め込めたのとどうように
４次元空間内に埋め込むことができます。）
あるいは空間としてはコンパクトでない（有限ではない）けれども
十分大きいスケールでんみると、どこか歪んでいて
三角形の内角の和が１８０度にならない（例：放物空間）などなど。
